[3D 게임수학] 5. 아핀공간(Affine Space)

벡터는 이미 배웠듯이 정적인 위치와는 아무런 상관이 없는 '크기'와 '방향' 성분만을 가진다.

게임에서 돌아다니는 주인공이나 적의 위치는 무엇으로 표현해야할까? 그것이 바로 '점'이다.

이 점이 존재하는 공간을 '아핀공간'이라고 한다. 흔히들 유클리드 공간은 벡터 공간이라고 하지만, 엄밀히 말하자면 유클리드 공간은 '아핀공간'이다.

 

아핀 공간의 정의 자체가 점들의 집합과 더불어 하나의 벡터 공간을 필요로한다.

 

 

1. 점(Point)과 벡터(Vector)

 

V라는 벡터와 A라는 점들의 집합 아핀공간이 있을 때, 점과 벡터의 관계는 다음와 같다.

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위가 의미하는 바는 A는 점을 의미하고 벡터 V에 의해 운반되어도, 운반 된 결과도 다시 점이 된다는 것이다.

 

다음 세가지 성질을 만족한다.

 

1.  점 P에 영벡터를 더하면 점P라는 것은 쉽게 유추할수 있다.

2. 점 a와 임의의 벡터에 속한 v,w에 대해서 결합 법칙이 성립된다.

3. A에 속한 점 P, Q가 있을 때 P + v = Q를 만족하는 단하나의 벡터 v가 존재한다.

위 그림과 같이 어떤 점 a에 어떤 벡터 v를 더한 결과 점b가 나오는 단 하나의 벡터만 존재한다. 그리고 이 벡터가 두 점간의 최단거리가 된다. 

 

 

정리하자면, 

 

1. 벡터와 벡터를 더하거나,빼도 벡터

2. 점과 벡터를 더하거나, 빼도 점

3. 점에서 점을 빼면 벡터

 

 

 

 

 

 

 

 

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17. 아핀 공간 ( Affine Space )